運動量保存則を解説!運動量・力積の定義から丁寧に

運動量保存則を解説!運動量・力積の定義から丁寧に

運動量や力積の意味を説明できますか?

また、どんなときに運動量保存則を使うのか、
その「使い所」を説明できますか?

物理を得意としている受験生でも、
意外とこのあたりは盲点になりやすいです。

でも冷静に考えれば、
運動量保存則の使い所を理解していないと、
実際の問題で使いこなすことは難しいです。

あなたが運動量保存則を使いこなせないのは、
運動量保存則の意味を本質的に理解できていないからです。

この記事では運動量や力積の定義、
そして運動量保存則について本質的に解説していきます。

この記事を最後まで読むことで、
運動量保存則がどんな法則なのかがわかり、
実際の入試問題でも自由に使えるようになります。

今までわかった気になっていた部分も、
すっきりと理解できると思います。

ぜひ最後まで読み飛ばさずに読んでみてください。

運動量と力積とは?

運動量」を一言でいうなら、
物体の運動の激しさを表す量です。

車でイメージすると、
ただスピードが早いだけでなく、
トラックのような重たい車の方が、
ぶつかったときの衝撃がすごそうです。

この衝撃の強さ=運動の激しさ運動量です。

次に「力積」を一言でいうなら、
運動量を変化させるための量です。

例えば転がっているボールの運動量を増やして、
さらに激しく運動させたいとしましょう。

そんなときには、
ボールを手で押してあげることで、
力積を与えればよいのです。

つまり運動の激しさが運動量で、
運動の激しさを変化させるのが力積
なのです。

以下ではこの運動量と力積を、
もう少し詳しく考えていきましょう。

運動量の意味と定義

例えば、ボールがぶつかってくるのを
想像してみましょう。

ボールが重ければ重いほど
ボールが速ければ速いほど
ぶつかると痛そうですよね。

このように、
運動量\(p\)は物体の質量\(m\)と速度\(v\)に比例し、
以下のように表されます。

運動量の定義 \(p=mv\)

ここで運動量には「向き」があることに
注意しておきましょう。

転がるボールを後ろから押せば、
運動がさらに激しくなりますが、
同じように前から押せば、
ボールは徐々に止まっていきます。

つまりボールは右向きの運動量を持っていたということです。

つまり運動量は「ベクトル」だということです。ベクトルで定義を書き直すなら以下のようになります。
運動量の定義 \(\vec{p}=m\vec{v}\)

力積の意味と定義

ボールを押して運動量を増やしたいとき
強い力長い時間押した方が良さそうですね。

よって、力積\(\vec{I}\)は、
力\(\vec{F}\)と力をかける時間\(\Delta t\)に比例し、
以下のように表されます。

力積の定義(仮) \(\vec{I}=\vec{F}\Delta t\)

しかし、(仮)と書いたように、
この定義は正確ではありません。

なぜかというと、力をかけている間に、
力も刻一刻と変化することがある
からです。

例えば\(t_{A}\)秒から\(t_{B}\)秒までの\(\Delta t = t_{B}-t_{A}\)秒間、
以下のグラフのように力が変化したとしましょう。

最初のうちは小さめな力で、
途中ではかなり大きな力で、
最後はまた小さな力で押しているようです。

これは速度・加速度の記事の方法を思い出せば、
グラフの面積の部分が力積になるとわかります。

つまり力積の定義は以下の通り。

力積の定義 \[\vec{I}=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\vec{F}dt\]

力を時間的に積み重ねたものが、
力積になっているのです。

実際の入試問題でこの定義を問われることは少ないです。なぜなら力\(F\)のグラフ、\(t_{A}\)、\(t_{B}\)などがわからないことが多いからです。よって力積はこの定義よりも、次で説明する関係式で登場することが多いです。

運動量と力積の関係

最初に説明した通り、
力積は運動量を変化させるためのものです。

これを式にまとめると以下の通り。

運動量と力積 \[m\vec{v}’-m\vec{v}=\int_{t_{A}}^{t_{B}}\vec{F}dt\]

これを日本語で読めば、
運動量の変化は力積に等しい
となります。

この関係式は力積の意味をよく表しているので、
先ほどの式ではなくこちらを定義として、
理解しておいてもいいでしょう。

実はこの関係式は、
運動方程式を同値変形して得られるのです。

ただし一応高校範囲を超えるので、
詳しい解説は「応用」として最後に解説します。

運動量保存則

次に「運動量保存則」の解説です。

まずは2つのボールの衝突を考えてみましょう。

2つのボールが衝突をしている瞬間、
作用反作用の法則」に従って、
お互いに逆向きの力を掛け合っています。

つまり力積の定義を思い出せば、
ボールは逆向き、同じ大きさの力積を与えています

これに注意して、
2つのボールについて運動量変化を考えると以下。

\begin{align*}
m_{1}v’_{1} – m_{1}v_{1} &= I \\
m_{2}v’_{2} – m_{2}v_{2} &= -I
\end{align*}

この式からIを消去すると、

\begin{align*}
m_{1}v’_{1} – m_{1}v_{1} &= m_{2}v’_{2} – m_{2}v_{2} \\
m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} &= m_{1}v’_{1} + m_{2}v’_{2}
\end{align*}

となって、2つのボールの運動量の合計が、
衝突の前後で変わりません。

これを「運動量保存則」と呼びます。

運動量保存則は、
力学の問題を解いていく中で、
とても重要でとても頻繁に使う法則です。

なぜ運動量保存則が重要か、
について詳しく説明しておきましょう。

なぜ運動量保存則が重要か

結論から言えば以下の2つの理由があります。

運動量保存則が重要な理由
理由① 力がわからなくても使える
理由② 運動方程式と同値である

ここまで何度も言ってきたように、
力学の問題は運動方程式がすべてです。

だから原理上は、
運動方程式を使えばどんな問題も解けます。

しかし先ほどの衝突を思い出しましょう。

2つのボールが衝突するとき、
力Fがどんな力かがわかりませんでした。

これでは運動方程式を立てることができません。

そこで使うのが運動量保存則
運動量保存則は、運動方程式と同値なので、
運動方程式の代わりに使えます。

しかも力を知らなくても使えます。

よって運動量保存則は、
運動方程式がうまく使えない時に、
その代わりに使われる法則
なのです。

だからこそとっても重要な法則なんですね。

運動量保存則は、エネルギーに関する式と連立することが多いです。エネルギーが保存されているなら「エネルギー保存則」、衝突でエネルギーが保存しないなら「反発係数の式」、外力の仕事でエネルギーが保存しないなら「エネルギーの差=仕事」などと連立します。

運動量保存則の注意点

運動量保存則が成り立つのは、
外から力が生じていない場合のみです。

当たり前ですが、
外から力積が加えられれば、
運動量の変化が起こってしまいます。

注目した物体同士以外に、
運動量を変化させる力積がない場合のみ、
運動量保存則が成り立ちます。

応用:運動量保存則の導出

最後に応用として、
運動量保存則の導出をしておきましょう。

興味がない人は飛ばしてしまって構いません。

ただ導出と言っても、
・速度、加速度の意味
・運動方程式の意味

をきちんと理解できていればすぐに求まります。

【合わせてチェック】
超重要!位置・速度・加速度を理解しよう!【高校物理】
力学の最重要法則「運動方程式」で未来を予知する

では、1つの物体に対して運動方程式を立てます。

\[ m\frac{dv}{dt} = F \]

そろそろこの加速度の書き方にも慣れたでしょうか。
次にこの両辺をtで積分します。

時刻\(t_{A}\)での速度が\(v\)、時刻\(t_{B}\)での速度が\(v’\)とすると

\begin{align*}
\int_{t_{A}}^{t_{B}}m\frac{dv}{dt}dt &= \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt \\
\int_{v}^{v’}mdv &= \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt \\
mv’ – mv &= \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt
\end{align*}

このようにして、
力積と運動量の関係が得られました。

ここまでくれば2物体の運動量保存則の証明は、
運動量保存則の章の中で書いた通りです。

より一般の運動量保存則の証明に関しては、以下のサイトでより詳しく解説してくれています。
【おすすめ外部サイト】
高校物理の備忘録|運動量保存則

まとめ

今回出てきた定義、法則をまとめましょう。

定義
運動量 \( \vec{p} = m\vec{v} \)
力積  \( \vec{I} = \int \vec{F}dt \)

法則
運動量と力積 \(mv’ – mv = \int_{t_{A}}^{t_{B}}Fdt\)
運動量保存則 \(m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v’_{1} + m_{2}v’_{2} \)

まずはこれらをしっかり押さえましょう。

その上でより大事なのは、
運動量保存則の使いどきを理解することです。

運動方程式と同値である運動量保存則は、
生じる力がわかりにくい衝突の問題などで、
運動方程式の代わりに使われるのでしたね。

ぜひ実際の問題で使えるように、
この事実から理解しておきましょう。

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