万有引力はなんとなく理解できたけど、
ケプラーの法則がよくわからない。
なんとなく言っていることはわかるけど、
実際の問題での使い方がわからない。
あなたもそんなふうに思っていませんか？
ケプラーの法則はとっつきづらく、
あまり問題にも出くわさないため、
意外と苦手なままだったりしますよね。
あなたがケプラーの法則を使えないのは、
単に使い方を意識的に勉強していないからです。
ここではケプラーの法則を、
その意味と使い方を合わせて解説しますね。
この記事を読み、例題を解けば、
ケプラーの法則の意味や使いどころが、
スッキリ理解できます。
ぜひ最後まで読んでみてください。
目次
惑星の運動はほんとは楕円軌道
万有引力の解説や例題では、
主に万有引力による円運動を考えました。
しかしこれはあくまで特別な場合で、
一般に万有引力による惑星などの運動は、
楕円軌道上を動きます。
実はこれは、万有引力の式、
\[ F = G\frac{mM}{r^{2}} \]
から導出することができるのですが、
万有引力の発見以前にこれを発見したのが、
「ヨハネス・ケプラー」先生です。
ケプラーは火星の観察記録を見て、
惑星の運動に関する考察をしました。
その結果導き出されたのが「ケプラーの法則」です。
今回はそんなケプラーの法則を勉強していきましょう。
ケプラーの法則
それでは早速、「ケプラーの法則」を列挙します。
第１法則：楕円軌道の法則
惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。
第２法則：面積速度一定の法則
惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間当たりに描く面積（面積速度）は一定である。
第３法則：調和の法則
惑星の公転周期の2乗は、軌道長半径の3乗に比例する。
これだけでは少し理解しづらいので、
それぞれ個別に確認していきます。
第１法則：楕円軌道の法則
惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。
第１法則の楕円軌道の法則はその名の通り、
惑星は楕円運動をするという法則です。
そして太陽がその楕円運動の焦点になります。
万有引力のように距離の2乗に反比例する力の場合、
数学的に計算すると楕円軌道になることがわかります。
この計算は高校レベルを超えるので、
この記事の最後に参考程度に触れます。
ちなみに地球も楕円軌道で公転するとはいえ、
焦点が中心に非常に近いために、
ほとんど円運動のようになっています。
第２法則：面積速度一定の法則
惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間当たりに描く面積（面積速度）は一定である。
「面積速度」という言葉は聞きなれないので、
まずは図を見て確認してみます。
楕円運動では、
太陽から近くにあるときほど速く、
太陽から遠くにあるときほど遅く動きます。
その結果、太陽と惑星の軌道が単位時間に作る、
扇型の面積が等しい、というのが第２法則です。
それでは面積速度を数式で考えてみましょう。
三角形の面積公式より、
\[ 面積速度 = \frac{1}{2}rvsin\theta \]
式自体を覚える必要はありませんが、
この式から面積速度の意味を理解できるといいと思います。
第３法則：調和の法則
惑星の公転周期Tの2乗は、軌道長半径aの3乗に比例する。
式で表すなら、
\[ \frac{T^{2}}{a^{3}} = 一定 （T^{2}=ka^{3}）\]
です。
ちなみに軌道長半径とは、
した図のように楕円軌道の長い半径のことです。
この式も導出自体は可能ですが、
直感的に理解するのも難しい式なため、
覚えてしまうのがいいと思います。
ただここで注意しておきたいのは、
定数kは焦点になる物体に依存することです。
つまり太陽系の惑星同士は同じになるし、
地球の人工衛星同士も同じになりますが、
惑星と人工衛星では異なる値になります。
第３法則を実際に使うときは、
kを与えられない場合が多いため、
複数の惑星を比較して使います。
これらについても次の例題で練習していきましょう。
ケプラーの法則ってどうやって使うの？
ケプラーの法則の難しいところは、
使いどころがわかりづらいことでしょう。
ここでは実際の例題を使って、
使い方の練習をしていきます。
ここで、前提を確認しておきましょう。
そもそもケプラーの法則は、
万有引力の法則を使えば全て証明できます。
そういう意味ではケプラーの法則をただの「公式」です。
ということは万有引力さえあれば、
本当はケプラーの法則を考えなくても、
惑星の運動を計算することができるということです。
しかしそのためには、
大学の数学知識が必要になるのです。
楕円軌道が難しいせいですね。
そんなときに便利なのがケプラーの法則。
ケプラーの法則を「公式」として使えば、
難しい楕円軌道も考えることができます。
これを前提に考えておくと、
惑星の運動の問題が出てきた時にも、
解法に迷いづらいと思います。
さて、前提が共有できたところで、
例題をみていきましょう。
例題
地球の質量を\(M\)、半径を\(R\)、万有引力定数を\(G\)とする。
（１）地上\(2R\)の円軌道上を人工衛星が回っている。その速さ\(v\)と周期\(T_{0}\)を求めよ。
（２）人工衛星を図の点Aで減速させて楕円軌道に乗せ、地表の点Bで回収したい。点A、点Bでの速度\(v_{A}\)、\(v_{B}\)をそれぞれ求めよ。
（３）減速してから人工衛星が回収されるまでの時間を求めよ。
ヒント：
（１）単に円軌道を回っている場合は、
万有引力を使えば良いのでした。
（２）楕円軌道になったらケプラーの法則の出番。
（３）回収されるまでの時間は、楕円軌道の周期の半分ですね。周期を求めるには？
解答
（１）円運動であれば、何も恐れることはありません。
単に万有引力で円運動を考えるだけです。
半径\(3R\)の等速円運動だから、
速さを\(v\)、人工衛星の質量を\(m\)とすれば、
円運動の運動方程式より、
\begin{align*}
m\frac{v^{2}}{3R} &= G\frac{mM}{(3R)^{2}} \\
v &= \sqrt{\frac{GM}{3R}}
\end{align*}
周期\(T_{0}\)は、
\begin{align*}
T_{0} &= \frac{2\pi (3R)}{v} \\
&= 6\pi R\sqrt{\frac{3R}{GM}}
\end{align*}
（２）楕円軌道を考えるとなれば、
ケプラーの法則の出番です。
今回の問題の点Aと点Bは、
両方軌道に対して90°向きに速度を持つので、
面積速度は以下の直角三角形の面積です。
よって第２法則が使いやすいですね。
\[ \frac{1}{2}Rv_{B} = \frac{1}{2}(3R)v_{A} \]
しかしこれだけでは、
変数2つに対して式1つで解けないので、
エネルギー保存則も使ってあげましょう。。
\[ \frac{1}{2}mv_{B}^2 – G\frac{mM}{R} = \frac{1}{2}mv_{A}^2 – G\frac{mM}{3R} \]
2つの式を連立して解けば、
\[ v_{A} = \sqrt{\frac{GM}{6R}}、 v_{B} = \sqrt{\frac{3GM}{2R}}\]
（３）ヒントにも書いた通り、
点Aから点Bにたどり着くのには、
楕円周期の半分の時間がかかります。
ということは周期を求めればいいのですが、
楕円軌道を運動する周期を求めるのは、
高校レベルでは難しいです。
そこで使われるのがケプラーの第３法則です。
楕円軌道の周期を\(T\)として、
楕円の長半径\((R+3R)/2R=2R\)に注意すると、
\begin{align*}
\frac{T^{2}}{(2R)^{3}} &= \frac{T_{0}^{2}}{(3R)^{3}} \\
T &= (\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}}T_{0}
\end{align*}
AB間は半周期で動けるから
\begin{align*}
\frac{1}{2} &= \frac{1}{2}\cdot(\frac{2}{3})^{\frac{3}{2}}\cdot 6\pi R\sqrt{\frac{3R}{GM}} \\
&= 2\pi R\sqrt{\frac{2R}{GM}}
\end{align*}
参考：ケプラーの法則の導出（準備中）
参考としてケプラーの法則の導出をします。
大学入試的には全く必要がないので、
興味がない人はここは読まなくても大丈夫です。
また、本当は受験生にも配慮したいですが、
数学・物理の難易度的にどうしても
大学レベルの内容になってしまいます。
受験生だけど気になる！という人は、
「わからないけど理解してみたいな！」
という気持ちで眺めてもらえればと思います。
第２法則の導出
剛体の力学の記事でも説明した通り、
高校物理では回転運動を少ししか勉強しません。
水平運動における力に相当するものが、
回転運動におけるモーメントだったように、
回転運動の中にも水平運動に相当するような、
概念がいくつか出てきます。
そんな中で、水平運動の運動量に相当するのが、「角運動量」です。
位置\(\vec{r}\)、運動量\(\vec{p}\)の物体の角運動量は、
\[ \vec{L} = \vec{r}\times\vec{p} \]
と「外積」を使って定義されます。
ここで、角運動量の時間微分を考えると、
\begin{align*}
\frac{d\vec{L}}{dt} &= \frac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})\\
&= \frac{d\vec{r}}{dt}\times\vec{p} + \vec{r}\times\frac{d\vec{p}}{dt} \\
&= \vec{v}\times\vec{p} + \vec{r}\times\vec{F}
\end{align*}
外積の性質として、
同じ向きのベクトルの外積が0になる
ということが知られています。
よって\(\vec{v}\times\vec{p}=0\)であり、
万有引力という中心力が働く場合は、
位置と力も平行になるので\(\vec{r}\times\vec{F}=0\)です。
以上から、
\[\frac{d\vec{L}}{dt}=0\]
つまり、角運動量は時間に依存しない、
＝角運動量保存則が導けました。
中心力による回転運動の場合は、
角運動量が保存するということです。
さてここで、下図の惑星を考えます。
[画像]
外積の定義に基づいて計算すれば、角運動量の大きさLは、
\begin{align*}
L &= rpsin\theta \\
&= mrvsin\theta
\end{align*}
ここで先ほどの面積速度\(A=\frac{1}{2}rvsin\theta\)を思い出せば、
\begin{align*}
L &= mrvsin\theta \\
&= 2mA \\
A &= \frac{L}{2m} = 一定
\end{align*}
角運動量保存則から、面積速度一定とわかりました。
第３法則の導出
（準備中）
第１法則の導出
（準備中）
まとめ
今回はケプラーの法則の解説でした。
ケプラーの法則をまとめておきましょう。
第１法則：楕円軌道の法則
惑星は太陽を焦点とする楕円上を運動する。
第２法則：面積速度一定の法則
惑星と太陽を結ぶ線分が単位時間当たりに描く面積（面積速度\(=\frac{1}{2}rvsin\theta\)）は一定である。
第３法則：調和の法則
惑星の公転周期\(T\)と軌道長半径\(a\)は、\(T^{2}=ka^{3}\)を満たす。ただし\(k\)は、焦点の物体に依存する定数である。
これらは具体的な問題の解き方と合わせて
理解した方がいいでしょう。
例題が理解できなかった人は、
ぜひ時間をかけて考えてみてください。
