超重要!位置・速度・加速度を理解しよう!【高校物理】

超重要!位置・速度・加速度を理解しよう!【高校物理】

位置を求めるというのは、
力学の最終目標です。

全瞬間の位置を求めることができれば、
物体が動く通り道を全て予測できるからですね。

そして位置を求めるためには、
速度や加速度の概念が必要不可欠です。

しかしこんなに重要なのに、
速度や加速度を本質的に理解している受験生は少ないです。

そこで今回は速度・加速度の解説記事です。

この記事を理解することで、
速度・加速度を本質的に理解することができ、
この先の力学の勉強がスムーズに進みます。

ぜひ最後まで読み飛ばさずに読んでみてください。

位置・速度・加速度とは?

位置   物体がどこにあるかを表す量
速度   単位時間あたりの位置の変化率
加速度  単位時間あたりの速度の変化率

位置」というのは、
物体がどこにあるかを表す量です。

そして力学という学問は、
位置の変化を調べて運動を予言する学問
です。

どういうことかというと、
時間ごとの位置の変化がわかれば、
物体の運動の軌跡がわかるということです。

だから位置を調べることは、
力学の中心テーマなのですね。

そして位置を調べるために、
時間あたりの位置の変化具合である「速度」と、
時間あたりの速度の変化具合である「加速度」も、
とても重要です。

今回は速度、加速度の意味と定義を、
一緒に確認していきましょう。

速度の意味・定義

速度の意味を思い出すと、
一定の時間の間にどれだけ位置が変化したか
でした。

だから一定の時間\(\Delta t\)秒の間に位置が\(\Delta x\)だけ変化すると、
そのときの速度\(v\)は、

\[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

\(\Delta t = 5\)秒間に\(\Delta x = 10\)m進んだとしたら、
速度は2m/sになるのと同じ計算です。

ただしこれは「平均の速度」になっています。

例えば5秒間で10mといっても、
1秒目は動き出したばっかりでゆっくり、
5秒目には勢いがついて素早く動いたかもしれません。

できれば車の速度メーターのように、
今この瞬間どれくらいの速度かを知りたいですよね。

このような「瞬間の速度」を求めるためには、
\(\Delta t=0.00…01\)秒という短時間の位置変化を考えればよく、
以下のように計算することができます。

速度の定義式
\[ v = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt}\]

このように速度というのは、
位置が時間によってどのくらい変化するか、
という「位置の時間微分」で表せます。

最初は難しいかもしれませんが、
説明の流れをなんとなく理解しておきましょう。

「うわー、ビブンだ!大嫌い!」とか思わないでっ。むしろ逆に、「ビブンって速さみたいなものなんだ」と思えるといいと思います。

速度から位置を求めてみよう

先ほどは位置から速度を考えましたが、
次は逆に速度から位置を計算してみます

まずは簡単な具体例から。

車がずっと同じスピード\(v\)で走ったとしましょう。
これをv-tグラフで書くとこんな感じです。

最初の1秒の間にv[m]進み、
1秒〜2秒の間にもv[m]進み、…
と進んでいるので、
\(t\)秒後の位置\(x\)は、

\[ x = vt \]

となります。

ではもし車の速度が一定ではなく、
アクセルを踏んだりブレーキを踏んだりしたらどうなるでしょうか。

最初の1秒は1m/s×1秒=1mくらい、
途中の5秒は3m/s×1秒=3mくらい、
途中の10秒は4m/s×1秒=4mくらい進みます。

そして結果的に進んだ距離は、
これらの足し算になります。

その結果以下の図のように、
v-tグラフの面積が進んだ距離になるのです

よって速度がわかれば、
以下のように位置を計算することができます。

速度から位置を計算
ある時刻\(t_{0}\)・位置\(x_{0}\)からスタートし、速度が\(v(t)\)(時間の関数)であるとき、時刻\(t\)での位置\(x\)は以下のように計算できる。
\[ x = x_{0} + \int^{t}_{t_{0}}v(t)dt \]

こちらもこれだけ聞いても、
なかなか理解は難しいと思います。

参考書などで問題を解きながら、
少しずつ理解していきましょう。

速度が位置の微分なんだから、位置は速度の積分、ということです。ただし数学の公式としてではなく、毎瞬間の速度が積み上げられて距離になるという部分がイメージできるとより力学が楽しくなると思います。

加速度の意味・定義

速度が理解できれば、
加速度も同じように理解できます。

速度が位置の時間変化だったのに対し、
加速度は速度の時間変化ですから、
以下のように定義できます。

加速度の定義式
\[ a = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}}\]

さらに加速度から速度を計算することもできます。

加速度から速度を計算
ある時刻\(t_{0}\)・速度\(v_{0}\)からスタートし、加速度が\(a(t)\)(時間の関数)であるとき、時刻\(t\)での速度\(v\)は以下のように計算できる。
\[ v = v_{0} + \int^{t}_{t_{0}}a(t)dt \]

こちらに関しても、
加速度が積み上がって速度になる、
というイメージが持てるといいですね。

高校で習う公式を確認しよう

高校の力学の授業で、
こんな公式たちを学びましたよね。

\begin{align*}
等速運動    &x = x_{0} + vt \\
&\\
等加速度運動  &v = v_{0} + at \\
        &x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
\end{align*}

速度・加速度の意味を理解していないと、

あ、加速度運動なのに等速運動の公式使っちゃった…

というようなミスが出てきます。

今回の記事で学んだことを使い、
授業で習った公式を確認していきます。

①等速運動

等速運動とは、速度\(v\)が一定ということですね。

v-tグラフの面積を思い出してもいいですし、
積分での方法を思い出してもいいですが、
時刻0からスタートしたとすれば、

等速運動の公式\begin{align*}
x &= x_{0} + \int^{t}_{0}vdt \\
&= x_{0} + vt
\end{align*}

となります。

②等加速度運動

等加速度運動とは加速度\(a\)が一定ということです。

こちらも定義通り計算してみましょう。

等加速度運動の公式\begin{align*}
v &= v_{0} + \int^{t}_{0}adt \\
&= v_{0} + at \\
x &= x_{0} + \int^{t}_{0}vdt \\
&= x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}
\end{align*}
\(\frac{1}{2}at^{2}\)についている1/2は、v-tグラフ的に考えれば三角形の面積であることに対応し、積分的に考えれば一次関数の積分の結果に対応します。

応用:単振動の位置と速度

バネを引っ張ると逆向きに力が働き、
元の位置に戻るために振動します。

このような動きを「単振動」といいます。

単振動の位置\(x\)は、

\begin{align*}
x&=Asin\omega t \\
(&ただしAは振れ幅、ωは定数)
\end{align*}

となることがわかっています。

つまり単振動の速度\(v\)は、\begin{align*}
v &= \frac{d}{dt}Asin\omega t\\
&= A\omega cos\omega t
\end{align*}

となります。
(三角関数の微分は数3で習います)

ときどき、
速度の公式といえば\(v=v_{0}+\frac{1}{2}at^{2}\)、
のように思ってしまう人がいますが、
実際は三角関数が速度になることだってあるのです。

以上、速度と加速度の公式を
勘違いしないための補足でした。

まとめ

位置・速度・加速度の関係をもう一度まとめておきます。

速度の定義式\begin{align*}
v &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{dx}{dt} \\
x &= x_{0} + \int^{t}_{t_{0}}v(t)dt
\end{align*}
加速度の定義式\begin{align*}
a &= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d^{2}x}{dt^{2}} \\
v &= v_{0} + \int^{t}_{t_{0}}a(t)dt
\end{align*}

この記事で言いたいのは、
微分と積分で力学を考えろではなく
速度は位置の瞬間の変化量なんだよ、
位置は速度の積み重ねの結果なんだよ、

ということです。

これらがイメージできると、
力学の理解が格段に上がるでしょう。

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