万有引力とは?位置エネルギーまで徹底解説!

万有引力とは?位置エネルギーまで徹底解説!

万有引力は、力学の最後に出て来て、
少し特殊な分野というイメージがあるかもしれません。

そのせいで、
「万有引力の問題の解き方がわからない」
「万有引力のエネルギーがわからない」

などという質問をよく受けます。

しかし実は万有引力は、
ほとんど今までの力学と同じ考え方で解けます。

あなたが万有引力の問題でつまづくのは、
万有引力を特別に考えてしまうからなのです。

ここでは、万有引力について、
簡単な例題と一緒に解説していきますね。

この記事を最後まで読めば、
万有引力の基本的な定義を深く理解でき、
問題演習でもペンがさらさら動くようになります。

では一緒に頑張っていきましょう!

万有引力とは?

これまで、重力、張力、浮力、弾性力など、
さまざまな力が登場してきましたが、
高校力学で最後に習う力が「万有引力』です。

万有引力とはすべての物体同士に働く力で、
2物体の質量\(m_{1}\)、\(m_{2}\)に比例し、
2物体間の距離\(r\)の2乗に反比例するような力です。

万有引力の大きさ
\[F = G\frac{m_{1}m_{2}}{r^2}\](\(G=6.67×10^{-11}\)は万有引力定数)

実は今まで考えてきた物体にも、
質量があれば万有引力は生じています。

しかし万有引力定数の小ささからわかるように、
ボールや車、人間程度ではほとんど0になってしまいます。

万有引力が意味のある大きさになるのは、
惑星のようなめちゃくちゃ質量が大きい場合
です。

地球が太陽の周りを回る円運動も、
万有引力が引き起こしています。

万有引力の練習問題

運動方程式のところで解説した通り、
力がわかれば運動方程式から運動を解析できるはずです。

簡単な練習問題で万有引力の練習をしてみましょう。

問題 地表から高さ\(h\)を等速円運動する人工衛星の速度\(v\)を求めよ。ただし人工衛星の質量は\(m\)、地球の質量を\(M\)、地球の半径を\(R\)、万有引力定数を\(G\)とする。

円運動の基本的な考え方がわからない場合は、
以下の記事を参考にしてください。
【合わせてチェック】
【図解でわかる】円運動を東大院生が解説!速度・加速度の求め方

この問題も円運動の基本通り考えれば解けそうです。

まずは力の図示をしましょう。

人工衛星にかかるのは万有引力だけです。
その大きさは、万有引力の定義を思い出せば、

\[ F = G\frac{mM}{(R+h)^2} \]

力がわかったので、円運動の運動方程式を立てれば\(v\)が求まります。

\begin{align*}
m\frac{v^2}{R+h} &= G\frac{mM}{(R+h)^2} \\
v^2 &= \frac{GM}{R+h}\\
v &= \sqrt{\frac{GM}{R+h}}
\end{align*}

このように万有引力もやはり力の一種なので、
運動方程式を基本に考えることができます。

地表スレスレを等速円運動するために必要な速度、つまり上の問題でh=0との場合の人工衛星の速度を「第一宇宙速度」といいます。地表を第一宇宙速度以上のスピードで運動すれば、地球の万有引力を超えて地表から浮き上がることができます。

万有引力と重力の関係

さて、ここで、
今まで何気なく出てきていた「重力」と、
万有引力の関係を確認しておきます。

重力はそもそも万有引力が元になって発生する力です。

より具体的に言えば、
重力とは地球と地球上の物体との間に働く、
万有引力のことを指します。

厳密には、地球上の物体の場所によって、
働く万有引力の大きさは変わりますが、
地球の半径が十分に大きいのでその差は無視できます。

つまり質量\(m\)の物体を考えれば、
以下のような関係が成り立つのです。

\begin{align*}
mg &= G\frac{mM}{R^2} \\
g &= \frac{GM}{R^2}
\end{align*}

この式は万有引力と重力加速度を結びつける式で、
頻繁に利用するものなので頭の片隅に置いておくといいでしょう。

先ほど紹介した第一宇宙速度の式は、
この関係式を利用すれば、

\[v = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}\]

と書くことができます。

より正確には、重力=万有引力だけではなく、地球の自転による遠心力などの影響もすべて含まれています。

万有引力による位置エネルギー

それでは次に万有引力の位置エネルギーを考えます。

その前に、そもそもエネルギーとは、
その力によりどれだけ仕事をされたか
=どれだけ仕事をする能力があるか

を表しています。

例えば重力の位置エネルギーは、
重力\(mg\)に逆らって高さ\(h\)に持ち上げるのに、
\(mgh\)の仕事が必要だから、エネルギーは\(mgh\)です。

もしエネルギーの概念自体に不安があれば、
まずはエネルギーの復習をしておきましょう。
【合わせてチェック】
仕事とエネルギーを解説!定義から正しく理解しよう

それでは万有引力の位置エネルギーです。

結論から言えば、
万有引力の位置エネルギーは以下のようになります。

万有引力の位置エネルギー
無限遠を基準にすれば、\[U=-G\frac{mM}{r}\]

この導出は少し難しいので、
最初のうちは公式として覚えてしまってもいいかもしれません。

一応この記事では、
以下で詳しく解説していきます。

万有引力の位置エネルギーの導出

それでは万有引力の位置エネルギーの導出です。

質量\(M\)、\(m\)の2物体を用意しましょう。
この2物体が距離\(r\)のときの位置エネルギーは、
2物体を距離\(r\)の位置に持っていくのに必要な仕事に等しいです。

ということで以下のように、
2物体が同じ位置にある状態から、
質量\(m\)の方だけを引っ張って\(r\)の位置に動かしてみましょう。

このときに必要な仕事がエネルギーとなるわけです、
が、この考え方には問題があります。

2物体が同じ位置にある場合、
万有引力が無限大に発散してしまうのです。

\[ F = G\frac{mM}{0^2} = \infty \]

そこで少し工夫をします。
位置エネルギーの基準点を変えるのです。

どういうことかわかりづらいと思うので、
一旦別の例を使って考えましょう。

重力の位置エネルギーを考える場合、
自分で好き勝手に基準点を決めますよね。

基準点を変えたとしても、
変化の前後で同じ基準で考えれば、
基準点は好きに決めることができる
のです。

そこで万有引力では、
エネルギーの基準を「無限遠」にとります。

すると無限遠から\(r\)まで運ぶ仕事は、
仕事の定義をきっちりと思い出せば、
以下のように求まります。

\begin{align*}
\int_{\infty}^{r}G\frac{mM}{r’^{2}}dr’&=\left[-G\frac{mM}{r’}\right]_{\infty}^{r}\\
&= -G\frac{mM}{r} + G\frac{mM}{\infty}\\
&= -G\frac{mM}{r}
\end{align*}

このようにして万有引力の位置エネルギーが求まりました。

さっき言った通り基準はどこでもいいので、
例えば「質量Mの物体から100m離れたところ」
などを基準に取ることもできますが、

\[ U = -G\frac{mM}{r} + G\frac{mM}{100} \]

とめんどくさそうな項が残ってしまいます。

これでも問題ないですが、
どうせなら無限遠を基準にして置いた方が、
エネルギーの式が見やすくなるのです。

エネルギーがマイナスになるの??
例えば、富士山のてっぺんを基準に取れば、日本全国中の位置エネルギーがマイナスになります。このようにエネルギーは基準ありきのものなので、符号に本質的な意味はありません。万有引力では富士山のてっぺんどころか「無限遠」という無限に高いところを基準にしているので、エネルギーの値がマイナスになっています。

位置エネルギーの練習問題

運動方程式を使う代わりに力学的エネルギー保存則を使えば、
運動を解析することができるのでした。

【合わせてチェック】
今すぐ使える力学的エネルギー保存則!

万有引力の位置エネルギーであっても、
基本的な考え方は一緒ではありますが、
きちんと練習をしておきましょう。

問題 地球の重力を振り切るために必要な初速を「第二宇宙速度」という。地球の重力を振り切るとはつまり、万有引力の位置エネルギーが0になる無限遠に達しても、まだ速度を持っている状態である。
質量\(m\)の第二宇宙速度を求めよ。ただし重力加速度を\(g\)とする。

力学的エネルギー保存則を考えるときには、
変化の前後の様子をきちんと図示します。

次に変化の前後でエネルギーを比較します。

\[\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-G\frac{mM}{R} = \frac{1}{2}mv^{2}\]

無限遠でも速度を持っているためには、
\(\frac{1}{2}mv^{2}≧0\)でないといけません。
この条件を使えば、

\begin{align*}
\frac{1}{2}mv_{0}^{2}-G\frac{mM}{R} ≧ 0 \\
v_{0} ≧ \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}
\end{align*}

最後の変形では、\(g=\frac{GM}{R^2}\)を使いました。

以上より、\(\sqrt{2gR}\)以上の初速があれば、
地球の重力を振り切ることができるので、
第二宇宙速度は\(\sqrt{2gR}\)となります。

慣れないと少し難しく感じますが、
やっていることはただのエネルギー保存則です。

参考:ケプラーの法則

(準備中です。)

まとめ

今回は万有引力の解説でした。

必要な知識をまとめておきます。

万有引力の大きさ\[F = G\frac{mM}{r^2}\]
万有引力の位置エネルギー\[U = -G\frac{mM}{r}\]
第一宇宙速度
 地表スレスレを等速円運動するときの速度。

第二宇宙速度
 地球の重力を振り切るのに必要な初速。

万有引力はとっつきにくいイメージがありますが、
解法は意外と今までの力学と同じ部分が多いです。

きっちりと練習しておきましょう。

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