力学の最難関!単振動とは?東大院生が徹底解説!【高校物理】

力学の最難関!単振動とは?東大院生が徹底解説!【高校物理】

単振動では様々な「公式」が出てきます。
それらを全てまとめると以下の通り。

単振動の変位・速度・加速度
変位  \(x=Asin(\omega t+\alpha)\)
速度  \(v=A\omega cos(\omega t+\alpha)\)
    最大値は\(A\omega\)
加速度 \(a=-A\omega^{2} sin(\omega t+\alpha)\)
    最大値は\(A\omega^{2}\)

単振動の周期
\begin{align*}
  &\omega T = 2\pi \\
  &T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{align*}

単振動の位置エネルギー\[    位置エネルギー=\frac{1}{2}kx^2\]

あなたはこれらをただただ丸暗記していませんか?

これらの数式の意味を理解せず、
機械的に丸暗記をしていては、
単振動どころか力学すら得意にはなれません。

ここでは単振動について、
本質的な知識や考え方を伝えていきますね。

この記事を最後まで読むことで、
単振動がなぜ難しいのかを理解することができ、
そして単振動を得意科目にできるでしょう。

単振動は力学の中でも出題率が高く、
単振動ができる=物理で高得点を狙っていけます。

ぜひ読み飛ばさずに読んでみてください。

力学の最難関!単振動とは?

単振動」とは、
バネが伸び縮みしながら振動したり、
振り子がゆらゆらと揺れるような運動です。

単振動する物体は、
サインカーブを描きながら振動します。

「波動」の分野を勉強した人なら、
なんとなく波のようにも見えますね。

では単振動がどんなときに発生するかというと、
物体に以下のような力がかかる場合です。

\begin{align*}
F = -kx (復元力) \\
ただしxは変位、kは定数
\end{align*}

「変位」とは、ある基準点からの位置のずれのことです。

この力を日本語で言うなら、
前に進むほど後ろに引っ張られ、
後ろに進むほど前に引っ張られる力、

です。

物体が移動しようとしても、
常に元の位置に「復元」されてしまう、
そんな状況のときに単振動が起こります。

さて、では力が表せるのならば、
運動方程式で加速度が求まり、
加速度から物体の変位xが求まるはずです。

\begin{align*}
ma &= -kx \\
a &= -\frac{k}{m}x
\end{align*}

しかし、ここで問題が生じます。

一見、加速度が求まったようですが、
この式からは「ある理由」で位置が求まりません。

この式を解くためには大学の数学が必要で、
結果的には以下のように式変形されます。

\begin{align*}
a &= -\frac{k}{m}x \\
x &= Asin(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\alpha)
\end{align*}

何が起こったんだ!?
と思いますよね 笑

実はここで大学数学が必要で、
急に意味不明に三角関数が出てくるから、
単振動は難しく感じるのです。

「ある理由」とはなんなのか、
どんな式変形をしたらxが求まったのか、
についてはこの記事の最後に解説します。

ただしそこまで理解する必要もないので、
多くの人はx=…の式を覚えてしまえばいいでしょう。

ここからはx=…の意味の説明と、
そこから求まる単振動の公式を学んでいきます。

単振動が難しく感じるもう一つの原因は、三角関数の取り扱いに慣れていないことも挙げられます。もし数学に不安がある場合は数2の復習もしておくといいでしょう。

単振動の変位・速度・加速度

先ほど求めたように、
単振動の変位xは以下のように表せます。

単振動の変位
\begin{align*}
x &= Asin(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\alpha) \\
&= Asin(\omega t+\alpha) (\omega = \frac{k}{m}とする)
\end{align*}

ただし、
振幅A   単振動の揺れの大きさ
初期位相α 振動のスタート位置のずれ
角周波数ω 1秒あたりの位相の変化

A、αは初期条件によって決まり、
ωはkとmによって決まります。

なぜこのように表せるのかは、
高校レベルでは少し難しいので、
この記事の最後に応用として説明します。

「位相」ってなんだったっけ?
簡単に言えば三角関数の角度の部分です。ただ、例えば\(\mathrm{sin0}\)と\(\mathrm{sin2\pi}\)では、グラフの形が全く同じですよね。これを「位相が同じ(同位相)」と言い、角度が違ってもグラフが一緒なら位相は等しくなるとわかります。

次に変位を使って速度と加速度を求めましょう。

速度と加速度については、
以下で本質的に解説しているので、
まだ呼んでいない人はそちらからご覧ください。

【合わせてチェック】
超重要!位置・速度・加速度を理解しよう!【高校物理】

速度とは、位置xを時間tで微分したもの、
加速度とは、速度を時間tで微分したものでしたね。

これを使えば以下のように計算できます。

\begin{align*}
v &= \frac{dx}{dt} = A\omega cos(\omega t+\alpha) \\
a &= \frac{dv}{dt} = -A\omega^{2} sin(\omega t+\alpha) = -\omega^{2}x
\end{align*}

加速度の計算では、
途中で\(x=Asin(\omega t+\alpha)\)の形が出てきたので、
xを代入しました。

sinもcosも最大値は1なので、
速度の最大値は\(A\omega\)、加速度の最大値は\(A\omega^{2}\)、
となることもすぐにわかりますね。

以上をまとめると以下のとおりです。

単振動の変位・速度・加速度
変位  \(x=Asin(\omega t+\alpha)\)
速度  \(v=A\omega cos(\omega t+\alpha)\)
    最大値は\(A\omega\)
加速度 \(a=-A\omega^{2} sin(\omega t+\alpha)\)
    最大値は\(A\omega^{2}\)

単振動の周期

単振動は、周期的に振動を繰り返します。

周期は位相が同じになるごと、
つまりsinの中身が2πずれるごとです。

よって周期Tは、

\begin{align*}
\omega T &= 2\pi \\
T &= \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{align*}

となります。

少し実践的な考え方も紹介しておきます。

単振動の運動方程式を考えると、

\begin{align*}
ma &= -kx \\
a &= -\frac{k}{m}x \\
&= -\omega^{2}x \\
(\omega&=\sqrt{\frac{k}{m}}を用いた)
\end{align*}

となります。

つまり、ある問題で普通に力を図示し、
運動方程式を立てて

\[ a = -◯x \]

の形になった場合、
周期は以下のように計算できます。

\begin{align*}
\omega^2 &= ◯ \\
T &= \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{◯}}
\end{align*}

つまり周期を求める問題では、
運動方程式を書いてωを求めれば、
簡単に周期がわかるということですね。

単振動の位置エネルギー

エネルギー」とは、
仕事」と表裏一体の概念で、
仕事をされたならその分エネルギーが溜まっていると考えます。

仕事に関しては、
以下で詳しく解説しています。

【合わせてチェック】
仕事とエネルギーを解説!定義から正しく理解しよう

ここでは簡単に、
単振動の位置エネルギーを確認しておきます。

バネ定数kのバネにくっついた物体が、
変位xの位置にあるとすると、
これを外力で動かすにはkxの力が必要です。

このようにして変位0からxまで引っ張るとき、
最初はk×0=0[N]で引っ張ることができますが、
徐々に徐々に必要な力が大きくなります。

これをグラフに書いたのが以下です。

最初の方は小さい仕事で済むけど、
引っ張るほど必要な仕事が大きくなる、
これを考慮すると必要な仕事はグラフの面積になります。

よって必要な仕事は、

\[W = \frac{1}{2}kx\times x =\frac{1}{2}kx^2 \]

となり、これが単振動の位置エネルギーになります。

もしくは仕事の定義に基づくなら、

\[ W = \int_{0}^{x}Fdx’ \]

だから、F=kxを代入すれば、

\begin{align*}
W &= \int_{0}^{x}Fdx’ \\
&= \int_{0}^{x}kx’dx’ \\
&= \frac{1}{2}kx^2 \\
\end{align*}

となります。

ここでのFは復元力ではなく、復元力と釣り合っている力です。力の釣り合いの式\(F-kx=0\)から求められたものなので、復元力と違ってマイナスがつきません。

応用:微分方程式による解法

一番最初に、
\(a = -\frac{k}{m}x\)
の式が「ある理由」で解けないと言いました。

ここでは物理が得意な人向けに、
その理由について解説していきます。

興味がない人はスキップして大丈夫です。

さて、まずは加速度aの定義を思い出すと、
加速度は変位xの時間の二階微分でした。
つまり先ほどの式は、

\[a = \frac{d^2x}{dt^2} =-\frac{k}{m}x\]

とかけます。

ここで数2で習った積分を思い出しましょう。

普通積分をしたければ、
\(\frac{dx}{dt}=t\)→\(x=\frac{1}{2}t^2+C\)のように、
\(\frac{dx}{dt}=tの関数\)となるはずです。

しかし今回はなんと、
右辺にxが混ざってしまっています。

これは簡単に言えば、
普段は\(y’=x\)などしか扱わないのに、
今回は\(y’=y\)という形が出てきたイメージです。

数2ではこんな積分習いませんでしたね。

このように\(y’\)と\(y\)が混ざったり、
\(\frac{dx}{dt}\)と\(x\)が混ざったりして、
関数とその微分が混ざったものを微分方程式と呼びます。

微分方程式の解法に従えば、
\(\frac{d^2x}{dt^2} =-\frac{k}{m}x\)の解は以下のようになります。

\begin{align*}
x &= Asin\sqrt{\frac{k}{m}t} + Bcos\sqrt{\frac{k}{m}t} \\
&= \sqrt{A^2+B^2}sin(\frac{k}{m}t+\alpha) \\
&= Asin(\frac{k}{m}t+\alpha) \\
(&\sqrt{A^2+B^2}→Aと置き直した)
\end{align*}

微分方程式さえ使えれば、
単振動も運動方程式を使って解けますが、
微分方程式が使えないことによって、
単振動では暗記が多く思えてしまう
のです。

ここまで読んでくれたあなたは、
「単振動も本当はただの運動方程式なんだ」
と思えるといいですね。

まとめ

今回は単振動に関する、
さまざまな数式を確認しました。

以下にもう一度まとめておきましょう。

単振動の変位・速度・加速度
変位  \(x=Asin(\omega t+\alpha)\)
速度  \(v=A\omega cos(\omega t+\alpha)\)
    最大値は\(A\omega\)
加速度 \(a=-A\omega^{2} sin(\omega t+\alpha)\)
    最大値は\(A\omega^{2}\)

単振動の周期
\begin{align*}
  &\omega T = 2\pi \\
  &T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{align*}

単振動の位置エネルギー\[    位置エネルギー=\frac{1}{2}kx^2\]

変位の式さえ覚えてしまえば、
その他の式は暗記する公式ではありません。

ぜひきっちりと理解しておいてください。

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